HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS PARA LA LOCALIZACIÓN ESPACIAL

 

 

La manipulación de piezas llevada a cabo por un robot implica el movimiento espacial de su extremo. Asimismo, para que el robot pueda recoger una pieza, es necesario conocer la posición y orientación de ésta con respecto a la base del robot. Se aprecia entonces la necesidad de contar con una serie de herramientas matemáticas que permitan especificar la posición y orientación en el espacio de piezas, herramientas y, en general, de cualquier objeto.

 

Estas herramientas han de ser lo suficientemente potentes como para permitir obtener de forma sencilla relaciones espaciales entre distintos objetos y en especial entre éstos y el manipulador. Sin embargo, es necesario resaltar que estas son de aplicación general para el tratamiento de problemas de localización espacial y que,  por tanto, no son de aplicación exclusiva en el campo de la robótica.

 

Los dos primeros apartados presentan los distintos métodos existentes para la representación de la posición y orientación espacial de un cuerpo rígido. Los conceptos se irán introduciendo por orden creciente de dificultad, comenzando con la representación en dos dimensiones, para seguidamente pasar al análisis en tres. En el siguiente argumento se introduce el concepto de matriz de transformación homogénea. Necesaria para la presentación conjunta de posición y orientación, junto con sus propiedades y aplicaciones. Se trata de una herramienta muy útil para representar transformaciones espaciales, estando su uso ampliamente extendido en diversos campos además del de la robótica, como por ejemplo en el de gráficos por computador.

 

Los denominados cuaternios, al tratarse de una herramienta de uso más restringido, no son analizados con el suficiente detalle en la bibliografía existente. Se trata de un método de gran economía computacional utilizado incluso por algunos robots comerciales para la representación de orientación, y por ello se ha incluido un apartado dedicado a su estudio.

 

 

1.     REPRESENTACIÓN DE LA POSICIÓN.

 

Para localizar un cuerpo rígido en el espacio es necesario contar con una herramienta que permita la localización espacial de sus puntos. En un plano el posicionamiento tiene dos grados de libertad, y por tanto la posición de un punto vendrá definida por dos componentes independientes. En el caso de un espacio tridimensional será necesario emplear tres componentes.

 

La forma más intuitiva y utilizada de especificar la posición de un punto son coordenadas cartesianas. Existen además otros métodos, igualmente válidos, y también ampliamente extendidos, como son las coordenadas polares para dos dimensiones, y las cilíndricas y esféricas para espacios de tres dimensiones.

Sistema cartesiano de referencia: Normalmente los sistemas de referencia se definen mediante ejes perpendiculares entre sí con un origen definido. Estos se denominan sistemas cartesianos, y en el caso de trabajar en el plano (2 dimensiones), el sistema de referencia OXY correspondiente queda definido por dos vectores coordenados OX y OY perpendiculares entre sí con un punto de intersección común O.

 

Si se trabaja en el espacio (tres dimensiones), el sistema cartesiano OXYZ está compuesto por una terna ortogonal de vectores coordenados OX, OY y OZ.

 

 

Representación de un vector en coordenadas cartesianas en 2 y 3 dimensiones

 

 

Coordenadas Cartesianas: Si se trabaja en un plano, con su sistema coordenado OXY de referencia asociado, un punto ‘a’ vendrá expresado por las componentes (x,y) correspondientes a los ejes coordenados del sistema OXY. Este punto tiene asociado un vector p(x,y), que va desde el origen O del sistema OXY hasta el punto a. por tanto, la posición del extremo del vector p está caracterizado por las dos componentes (x,y), denominadas coordenadas cartesianas del vector y que son las proyecciones del vector p sobre los ejes OX y OY.

 

En el caso de que se trabaje en tres dimensiones, un vector viene definido con respecto al sistema de referencia OXYZ mediante las coordenadas correspondientes a cada uno de los ejes coordenados.

 

 

Coordenadas polares y cilíndricas: Para un plano, es posible también caracterizar la localización de un punto o vector p respecto a un sistema de ejes cartesianos de referencia OXY utilizando las denominadas coordenadas polares p(r,ө). En esta representación, r representa la distancia desde el origen O del sistema hasta el extremo del vector p, mientras que ө es el ángulo que forma el vector p con el eje OX.

 

En el caso de trabajar en tres dimensiones, un vector p podrá expresarse con respecto a un sistema de referencia OXYZ, mediante las coordenadas cilíndricas p(r,ө,z). Las componentes r y ө tienen el mismo significado que en el caso de coordenadas polares, aplicado el razonamiento sobre el plano OXY, mientras que la componente z expresa la proyección sobre el eje OZ del vector p.

 

 

Coordenadas esféricas: También es posible utilizar coordenadas esféricas para realizar la localización de un vector en un espacio de tres dimensiones. Utilizando el sistema de referencia OXYZ, el vector p tendrá como coordenadas esféricas (r,ө), donde la componente r es la distancia desde el origen O hasta el extremo del vector p; la componente es el ángulo formado por el vector p con el eje OZ.

 

 

Representación de a) coordenadas polares y b) cilíndricas

 

 

 

2.     REPRESENTACIÓN DE LA ORIENTACIÓN.

 

Un punto queda totalmente definido en el espacio a través de los datos de su posición. Sin embargo, para el caso de un sólido, es necesario además definir cuál es su orientación con respecto a un sistema de referencia. En el caso de un robot, no es suficiente con especificar cuál debe ser la posición de su extremo, sino que en general, es también necesario indicar su orientación. Por ejemplo, en el caso de un robot que tenga que realizar sobre una pieza curva una operación de pulido, no bastaría con especificar los puntos de la superficie para situar adecuadamente la herramienta, sino que será necesario también conocer la orientación con que la herramienta ha de realizar la operación.

Una orientación en el espacio tridimensional viene definida por tres grados de libertad o tres componentes linealmente independientes. Para poder describir de forma sencilla la orientación de un objeto respecto a un sistema de referencia, es habitual asignar solidariamente al objeto un nuevo sistema, y después estudiar la relación espacial existente entre los dos sistemas. De forma general, esta relación vendrá dada por la posición y orientación del sistema asociado al objeto respecto al de referencia. Para el análisis de los distintos métodos de representar orientaciones se supondrá que ambos sistemas coinciden en el origen, y que por tanto no existe cambio alguno de posición entre ellos.

 

·       Matrices de Rotación: Las matrices de rotación son el método más extendido para la descripción de orientaciones, debido principalmente a la comodidad que proporciona el uso del álgebra matricial.

 

 

 

Orientación de un sistema OUV respecto a otro OXY en un plano.

 

 

Supóngase que se tiene en el plano dos sistemas de referencia OXY y OUV con un mismo origen O, siendo el sistema OXY el de referencia fijo y el sistema OUV el móvil solidario al objeto. Los vectores unitarios de los ejes coordenados del sistema OXY son ix, jy, mientras que los del sistema OUV son iu, jv.

 

Un vector p del plano se puede representar en ambos sistemas como:

 

 

Realizando una sencilla serie de transformaciones se puede llegar a la siguiente equivalencia:

 

 

Donde:

 

Es la llamada matriz de rotación, que define la orientación del sistema OUV con respecto al sistema OXY, y que sirve para transformar las coordenadas de un vector en un sistema a las del otro. También recibe el nombre de matriz de cosenos directores. Es fácil de comprobar que se trata de una matriz ortonormal, tal que R-1 = RT.

 

En el caso de dos dimensiones, la orientación viene definida por un único parámetro independiente. Si se considera la posición relativa del sistema OUV girado un ángulo sobre el OXY, tras realizar los correspondientes productos escalares, la matriz R será de la forma:

 

 

Para el caso en que = 0, en el los ejes coordenados de ambos sistemas coinciden, la matriz R corresponderá a la matriz unitaria.

 

 

Sistema de referencia OXYZ y solidario al objeto OUVW

 

 

 

En un espacio tridimensional, el razonamiento a seguir es similar. Supóngase los sistemas OXYZ y OUVW, coincidentes en el origen, siendo el OXYZ el sistema de referencia fijo, y el OUVW el solidario al objeto cuya orientación se desea definir. Los vectores unitarios del sistema OXYZ serán ix, jy, kz, mientras que los del OUVW serán iu, jv, kw. Un vector p del espacio podrá ser referido a cualquiera de los sistemas de la siguiente manera:

 

 

Y al igual que en dos dimensiones, se puede obtener la siguiente equivalencia:

 

 

Donde:

 

 

Es la matriz de rotación que define la orientación del sistema OUVW con respecto al sistema OXYZ. Al igual que en dos dimensiones, también recibe el nombre de matriz de cosenos directores y se trata de una matriz ortonormal, tal que la inversa de la matriz R es igual a su traspuesta: R-1 = RT.

 

La principal utilidad de esta matriz de rotación corresponde a la representación de la orientación de sistemas girados únicamente sobre uno de los ejes principales del sistema de referencia.

 

De la figura anterior, la orientación del sistema OUVW, con el eje OU coincidente con el eje OX, vendrá representada mediante la matriz:

 

 

La orientación del sistema OUVW, con el eje OV coincidente con el eje OY,  vendrá representada mediante la matriz:

 

 

La orientación del sistema OUVW, con el eje OW coincidente con el eje OZ, vendrá representada mediante la matriz:

 

 

Viéndose más claramente en las siguientes figuras:

 

 

Rotación del sistema OUVW con respecto a los ejes OY y OZ

 

 

Estas tres matrices, se denominan matrices básicas de rotación de un sistema espacial de tres dimensiones.

 

Composiciones de rotaciones: Las matrices de rotación pueden componerse para expresar la aplicación continua de varias rotaciones. Así, si al sistema OUVW se le aplica una rotación de ángulo sobre OX, seguida de una rotación de ángulo Φ sobre OY y de una rotación de ángulo ө sobre OZ, la rotación global puede expresarse como:

 

 

Donde Cө expresa cosө y Sө expresa senө.

 

Es importante considerar el orden en que se realizan las rotaciones, pues el producto de matrices no es conmutativo. Así, si la rotación se hiciera primero un ángulo ө sobre OZ, seguida de una rotación de ángulo Φ sobre OY, para finalizar con otra rotación de ángulo sobre OX, la rotación global vendría expresada por:

 

 

Que como se aprecia difiere en gran medida de la anterior. Un estudio más detallado sobre la composición de rotaciones, aunque aplicado al caso más general de matrices de transformación homogénea, se puede encontrar más adelante.

 

·       Ángulos de Euler: para la representación de orientación en un espacio tridimensional mediante una matriz de rotación es necesario definir nueve elementos. Aunque la utilización de las matrices de rotación presente múltiples ventajas, como se verá en el siguiente argumento, existen otros métodos de definición de orientación que hacen únicamente uso de tres componentes para su descripción. Este es el caso de los llamados ángulos de Euler.

 

 

 

Todo sistema OUVW solidario al cuerpo cuya orientación se quiere describir, puede definirse con respecto al sistema OXYZ mediante tres ángulos: Φ, ө, , denominados ángulos de Euler. Girando sucesivamente el sistema OXYZ sobre unos ejes determinados de un triedo ortonormal los valores de Φ, ө, , se obtendrá el sistema OUVW. Es necesario, por tanto, conocer además de los valores de los ángulos, cuáles son los ejes sobre los que se realizan los giros. Existen diversas posibilidades (24 formalmente definidas), siendo las tres más usuales las que se muestran a continuación:

 

 

Ángulos de Euler ZXZ

 

Es una de las representaciones más habituales entre las que realizan los giros sobre ejes previamente girados. Se le suele asociar con los movimientos básicos de un giróscopo. Si se parte de los sistemas OXYZ y OUVW, inicialmente coincidentes, se puede colocar al sistema OUVW en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos.

 

 

 

1.       Girar el sistema OUVW un ángulo Φ con respecto al eje OZ, convirtiéndose así en el OU’V’W’.

2.       Girar el sistema OU’V’W’ un ángulo ө con respecto al eje OU’, convirtiéndose así en el OU’’V’’W’’.

3.       Girar el sistema OU’’V’’W’’ un ángulo con respecto al eje OW’’ convirtiéndose finalmente en el OU’’’V’’’W’’’.

 

Es importante que estas operaciones se realicen en la secuencia especificada, pues las operaciones de giros consecutivos sobre ejes no son conmutativas.

Ángulos de Euler ZYZ

 

Es otra de las representaciones más habituales entre las que realizan los giros sobre ejes previamente girados. Sólo se diferencia del anterior en la elección del eje sobre el que se realiza el segundo giro. Si se parte de los sistemas OXYZ y OUVW, inicialmente coincidentes, se puede colocar al sistema OUVW en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos.

 

 

 

1.       Girar el sistema OUVW un ángulo Φ con respecto al eje OZ, convirtiéndose así en el OU’V’W’.

2.       Girar el sistema OU’V’W’ un ángulo ө con respecto al eje OV’, convirtiéndose así en el OU’’V’’W’’.

3.       Girar el sistema OU’’V’’W’’ un ángulo con respecto al eje OW’’ convirtiéndose finalmente en el OU’’’V’’’W’’’.

 

Como antes, es preciso considerar que el orden de los giros no es conmutativo.

 

 

Roll, pitch and yaw (alabeo, cabeceo y guiñada)

 

Se trata de la representación utilizada generalmente en aeronáutica. Es también la más habitual de entre las que se aplican a los giros sobre los ejes del sistema fijo. Si se parte de los sistemas OXYZ y OUVW, al igual que en el caso anterior, se puede colocar al sistema OUVW en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos.

 

 

 

 

1.       Girar el sistema OUVW un ángulo con respecto al eje OX. Es el denominado Yam o guiñada.

2.       Girar el sistema OUVW un ángulo ө con respecto al eje OY. Es el denominado Pitch o cabeceo.

3.       Girar el sistema OUVW un ángulo Φ con respecto al eje OZ. Es el denominado Roll o alabeo.

 

Al igual que en los casos anteriores, y en general siempre que se concatenan varios giros seguidos, es necesario considerar que no se trata de una transformación conmutativa, debiéndose seguir una secuencia determinada de aplicación de los mismos.

 

 

·       Par de rotación: La representación de la orientación de un sistema OUVW con respecto al sistema de referencia OXYZ también puede realizarse mediante la definición de un vector k (kx, ky, kz) y un ángulo de giro ө, tal que el sistema OUVW corresponde al sistema OXYZ girado un ángulo ө sobre el eje k. el eje k ha de pasar por el origen O de ambos sistemas. Al par (k, ө) se le denomina par de rotación y se puede demostrar que es único.

 

Al igual que los ángulos de Euler, no se trata de un método que permita realizar una visualización sencilla de la orientación, salvo en casos muy concretos en los que el vector k coincida con algunos de los ejes coordenados del sistema OXYZ. La utilidad de este sistema se verá en argumentos posteriores. Para la definición de orientación con este método, es necesario definir cuatro parámetros distintos: kx, ky, kz y ө. Se puede representar como Rot (k, ө).

 

La aplicación de un par de rotación que rote un vector p un ángulo ө alrededor del eje k se realiza a través de la siguiente expresión:

 

 

·       Cuaternios: Los cuaternios, pueden ser utilizados como herramienta matemática de gran versatilidad computacional para trabajar con giros y orientaciones. En la bibliografía clásica sobre robótica suelen ser obviados o no tratados con el suficiente detalle, a pesar de ser empleados por algunos robos comerciales. Para comprender la verdadera utilidad de los cuaternios, es necesario analizar sus propiedades y ver la aplicación práctica de las mismas. Esto se realizará en un argumento posterior, exponiéndose aquí únicamente su definición.

 

Un cuaternio Q está constituido por cuatro componentes (q0, q1, q2, q3) que representan las coordenadas del cuaternio en una base (e, i, j, k). Es frecuente denominar parte escalar del cuaternio a la componente en e:q0, y parte vectorial al resto de componentes. De modo que un cuaternio se puede representar como:

 

 

Donde s representa la parte escalar, y v la parte vectorial.

 

Para la utilización de los cuaternios como metodología de representación de orientaciones se asocia el giro de un ángulo ө sobre el vector k al cuaternio definido por:

 

 

De esta asociación arbitraria y gracias a las propiedades de los cuaternios que más adelante se verán, se obtiene una importante herramienta analítica para el tratamiento de giros y cambios de orientación.

 

 

 

3.       MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA

 

En los argumentos anteriores se han estudiado distintos métodos de representar la posición a la orientación de un sólido en el espacio. Pero ninguno de estos métodos por sí solo permite una representación conjunta de la posición y la orientación (localización). Para solventar este problema se introdujeron las denominadas coordenadas homogéneas.

 

·       Coordenadas y matrices homogéneas: La representación mediante coordenadas homogéneas de la localización de sólidos en un espacio n-dimensional se realiza a través de coordenadas de un espacio (n+1)-dimensional. Es decir, un espacio n-dimensional se encuentra representado en coordenadas homogéneas por (n+1) dimensiones, de tal forma que un vector p(x,y,z) vendrá representado por p(wx,wy,wz,w), donde w tiene un valor arbitrario y representa un factor de escala. De forma general, un vector p = ai+bj+ck, donde i, j, k son los vectores unitarios de los ejes OX, OY y OZ del sistema de referencia OXYZ, se representa en coordenadas homogéneas mediante el vector columna:

 

 

A partir de la definición de las coordenadas homogéneas surge inmediatamente el concepto de matriz de transformación homogénea. Se define como matriz de transformación homogénea T a una matriz de dimensión 4x4 que representa la transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro.

 

 

Se puede considerar que una matriz homogénea se haya compuesta por cuatro submatrices de distinto tamaño: una submatriz R3x3 que corresponde a una matriz de rotación; una submatriz p3x1 que corresponde al vector de traslación; una submatriz f1x3 que representa una transformación de perspectiva y una submatriz w1x1 que representa un escalado global. En robótica generalmente sólo interesará conocer el valor de R3x3 y de p3x1, considerándose las componentes de f1x3 nulas y la de w1x1 la unidad, aunque más adelante se estudia su utilidad en otros campos. Al tratarse de una matriz 4x4, los vectores sobre los que se aplique deberán contar con  dimensiones, que serán las coordenadas homogéneas del vector tridimensional de que se trate.

 

·       Aplicación de las matrices homogéneas: Si como se ha mencionado, se considera la transformación de perspectiva nula y el escalado global unitario, la matriz homogénea T resultará ser de la siguiente forma:

 

 

Que representa la orientación y posición de un sistema O’UVW rotado y trasladado con respecto al sistema de referencia OXYZ. Esta matriz sirve para conocer las coordenadas (rx, ry, rz) del vector r en el sistema OXYZ a partir de sus coordenadas (ru, rv, rw) en el sistema O’XYZ:

 

 

También se puede utilizar para expresar la rotación y traslación de un vector respecto de un sistema de referencia fijo OXYZ, de tal manera que un vector rxyz rotado según R3x3 y trasladado según p3x1 se convierte en el vector r’xyz dado por:

 

 

En resumen, una matriz de transformación homogénea se puede aplicar para:

 

1.     Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado O’UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ, que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada sobre un sistema de referencia.

2.     Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un sistema O’UVW, a su expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ.

3.     Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ.

 

Se hace notar que se utilizan coordenadas homogéneas con factor de escalado la unidad, y que por tanto los vectores que intervienen en las transformaciones han de poseer cuatro componentes. Por comodidad, se elige el factor de escalado w = 1.

 

A continuación se va a analizar con detalle el empleo de las matrices homogéneas como herramienta para representar la localización de objetos en el espacio tridimensional, así como para realizar proyecciones y escalados.

 

Traslación

 

Supóngase que el sistema O’UVW únicamente se encuentra trasladado un vector p = pxi + pyj + pzk con respecto al sistema OXYZ. La matriz T entonces corresponderá a una matriz homogénea de traslación:

 

 

Que es la denominada matriz básica de traslación.

 

Un vector cualquiera r, representado en el sistema O’UVW por ruvw, tendrá como componentes del vector con respecto al sistema OXYZ:

 

 

Y a su vez, un vector rxyz desplazado según T tendrá como componentes r’xyz:

 

 

Rotación

 

Supóngase ahora que el sistema O’UVW sólo se encuentra rotado con respecto al sistema OXYZ. La submatriz de rotación R3x3 será la que defina la rotación, y se corresponde al tipo matriz de rotación presentada en el argumento de matrices de rotación. De igual forma que se hacia allí, se pueden definir tres matrices homogéneas básicas de rotación según se realice ésta según cada uno de los tres ejes coordenados OX, OY y OZ del sistema de referencia OXYZ:

 

 

 

 

Un vector cualquiera r, representado en el sistema girado O’UVW por ruvw tendrá como componentes (rx, ry, rz) en el sistema OXYZ las siguientes:

 

 

Y a su vez un vector rx,y,z rotado según T vendrá expresado por r’x,y,z según:

 

 

Traslación junto con rotación

 

La principal ventaja de las matrices homogénea reside en su capacidad de representación conjunta de posición y orientación. Esta representación se realiza utilizando al mismo tiempo la matriz de rotación R3x3 y el vector de traslación p3x1 en una matriz de transformación homogénea. Es por tanto la aplicación conjunta de lo visto en los dos apartados anteriores.

 

La traslación y la rotación son transformaciones que se realizan en relación a un sistema de referencia. Por lo tanto, si se quiere expresar la posición y orientación de un sistema O’UVW, originalmente coincidente con el de referencia y que ha sido rotado y trasladado según éste, habrá que tener en cuenta si primero se ha realizado la rotación y después la traslación o viceversa, pues se trata de transformaciones espaciales no conmutativas. En la siguiente figura se demuestra esta no conmutatividad de forma gráfica.

 

Distintos sistemas finales según el orden de las transformaciones

 

Se parte de un sistema OUVW coincidente con OXYZ al que se va a aplicar una traslación según un vector px,y,z y una rotación de 180° alrededor del eje OZ. Si primero se rota y después se traslada se obtiene un sistema final O’U’V’W’. En cambio, si primero se traslada y después se rota se obtiene otro sistema final O’’U’’V’’W’’, que representa una localización totalmente distinta a la del sistema final anterior. Se tendrá, por tanto, matrices homogéneas distintas según se realice una traslación seguida de rotación o una rotación seguida de traslación.

 

Rotación seguida de traslación

 

Para el caso de realizar primero una rotación sobre uno de los ejes coordenados del sistema OXYZ seguida de una traslación, las matrices homogéneas serán las que a continuación se expresan:

 

Rotación de un ángulo sobre el eje OX seguido de una traslación de vector px,y,z:

 

 

 

 

 

 

 

Rotación de un ángulo Φ sobre el eje OY seguido de una traslación de vector px,y,z:

 

 

Rotación de un ángulo ө sobre el eje OZ seguido de una traslación de vector px,y,z:

 

 

 

Traslación seguida de rotación

 

Para el caso de realizar primero una traslación seguida de una rotación sobre los ejes coordenados del sistema OXYZ, las matrices homogéneas resultantes son las siguientes:

 

Traslación de vector px,y,z seguida de rotación de un ángulo sobre el eje OX.

 

 

Traslación de vector px,y,z seguida de rotación de un ángulo Φ sobre el eje OY.

 

 

Traslación de vector px,y,z seguida de rotación de un ángulo ө sobre el eje OZ.

 

 

Perspectiva y escalado

 

Las matrices homogéneas también se pueden aplicar para la realización de un escalado de las componentes de un vector. Bastará utilizar una matriz T del tipo:

 

 

Cualquier vector r(x,y,z) puede ser transformado en el vector r(ax,by,cz). También se puede realizar un escalado global de las tres componentes mediante la matriz:

 

 

A través de la cual, utilizando la definición de coordenadas homogéneas, cualquier vector r(x,y,z) puede ser transformado en un vector r(x/s,y/s,z/s).

 

·       Significado geométrico de las matrices homogéneas: Como ya se ha descrito, una matriz homogénea sirve para transformar un vector expresado en coordenadas homogéneas con respecto a un sistema O’UVW, a su expresión en las coordenadas del sistema de referencia OXYZ. También se puede utilizar para rotar y girar un vector referido a un sistema de referencia fijo, y en definitiva sirve para expresar la orientación y posición de un sistema de referencia O’UVW con respecto a otro fijo OXYZ.

 

 

La matriz T de transformación se suele escribir de la siguiente forma:

 

 

Donde n,o,a es una terna ortonormal que representa la orientación y P es un vector que representa la posición.

 

Si se considera un vector ruvw = [0,0,0,1]T, es decir, el origen del sistema O’UVW, la alicación de la matriz T que representa la transformación (traslación + rotación) de O’UVW con respecto a OXYZ, se obtiene rxyz:

 

 

Que coincide con el vector columna p de T. Por tanto, este vector columna representa la posición del origen de O’UVW con respecto del sistema OXYZ.

 

Si, de igual manera, se considera el vector de coordenadas homogéneas [1,0,0,1]T con respecto del sistema OUVW, es decir, el vector director del eje coordenado O’U del sistema O’UVW, y suponiendo el vector p de traslación nulo, se tendrá:

 

 

Es decir, el vector columna n representa las coordenadas del eje O’U del sistema O’UVW con respecto del sistema OXYZ. De igual forma, si se realiza la transformación de los vectores [0,1,0,1]T y [0,0,1,1]T referidos al sistema O’UVW, se obtiene que el vector columna o representa las coordenadas del eje OY del sistema O’UVW con respecto del sistema OXYZ, y que el vector columna a representa las coordenadas del eje O’W del sistema O’UVW con respecto del sistema OXYZ.

 

Consecuentemente, los vectores n, o y a definen una terna ortonormal a derechas, lo que significa que:

 

 

Como ya se vio cuando se explicó la matriz de rotación, la submatriz de rotación [n,o,a] corresponde a una matriz ortonormal, que cumple que:

 

 

La matriz inversa de la matriz homogénea de transformación T es fácilmente obtenible, y corresponde a la siguiente expresión:

 

 

Si se tiene la relación rxyz= T ruvw y se multiplica en ambos miembros por T-1, se tiene:

 

 

Por lo que, realizando el mismo proceso que se hizo anteriormente, se deduce que los vectores fila de la submatriz de rotación de la matriz T (vectores columna de la submatriz de rotación de T-1), representan los ejes principales del sistema de coordenadas de referencia OXYZ con respecto a OUVW. Es decir, los vectores fila de la matriz [n o a] representan otra terna ortonormal a derechas.

 

·       Composición de matrices homogéneas: Anteriormente se ha mencionado que una matriz de transformación homogénea sirve, entre otras cosas, para representar el giro y la traslación realizados sobre un sistema de referencia. Esta utilidad de las matrices homogéneas cobra aún más importancia cuando se componen las matrices homogéneas para describir diversos giros y traslaciones consecutivos sobre un sistema de referencia determinado.

De esta forma, una transformación compleja podrá decomponerse en la aplicación consecutiva de transformaciones simples (giros básicos y traslaciones).

Por ejemplo, una matriz que representa un giro de un ángulo sobre el eje OX, seguido de un giro de ángulo Φ sobre el eje OY y de un giro de un ángulo ө sobre el eje OZ, puede obtenerse por la composición de las matrices básicas de rotación:

 

(*)

 

Debido a que el producto de matrices no es conmutativo, tampoco lo es la composición de transformaciones. Si se invierte el orden de aplicación de las transformaciones, el resultado es, lógicamente, distinto:

 

 

En los ejemplos vistos anteriormente los ejes sobre los que se realizaban las operaciones correspondían al sistema fijo de referencia OXYZ. También es posible componer matrices de transformación de manera que las operaciones estén referidas en todo momento al sistema que esté moviéndose. Para ello bastará únicamente con ir concateando matrices en orden inverso. Por ejemplo, en la siguiente ecuación:

 

 

Se muestra una matriz que representa un giro de ángulo sobre el eje OX del sistema fijo OXYZ, seguido de un giro de valor Φ sobre el eje OV y un giro de ángulo ө sobre el eje OW del sistema en movimiento OUVW. Comparar con la matriz de la ecuación (*), que representa las mismas transformaciones referidas a los ejes de un sistema OXYZ fijo de referencia.

 

De forma general, a la hora de componer diversas transformaciones mediante matrices homogéneas, se han de tener en cuenta los siguientes criterios:

 

1.       Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado O’UVW son coincidentes, la matriz homogénea de transformación será la matriz 4x4 identidad, I4.

2.       Si el sistema O’UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema fijo OXYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá premultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.

3.       Si el sistema O’UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá postmultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.

 

Siguiendo estas indicaciones, cualquier composición de matrices homogéneas puede estudiarse como si se realiza cada transformación con respecto al sistema fijo o se realiza cada transformación con respecto al sistema móvil.

 

Por ejemplo, la transformación:

 

 

Puede verse como una rotación de Φ sobre OY, seguida de una rotación ө sobre OZ y de una rotación sobre OX del sistema fijo. O también puede verse cómo una rotación sobre el eje OU, seguida de una rotación ө sobre el eje OW y de una rotación Φ sobre el eje OV del sistema que está siendo transformado.

 

 

·       Gráficos de transformación: Es frecuente encontrar situaciones en las que la localización espacial de un objeto o de su sistema de referencia asociado, pueda realizarse a través de la composición de diversas transformaciones distintas. En la siguiente figura se tiene un manipulador cuya base está referida al sistema del mundo OXYZ mediante la transformación MTR.

 

Ejemplo de aplicación de diversas transformaciones para localizar un objeto

 

A su vez, para pasar de la base del manipulador a su extremo se utiliza la transformación RTE.

 

El extremo de la herramienta está referido con respecto al extremo del manipulador por la transformación ETH. A su vez, su objeto está referido con respecto al sistema OXYZ mediante la transformación MTO, y por último, el extremo de la herramienta está referido con respecto al objeto a través de la transformación OTH.

 

Se observa que el final de la herramienta puede ser referido con respecto al sistema OXYZ de dos maneras distintas: a través del manipulador y a través del objeto. De tal manera que se puede escribir:

 

 

 

Gráfico de transformación

 

Esta relación se puede representar mediante un gráfico de transformación como el de la figura anterior. De tal manera que si se quiere obtener la relación entre el objeto y la herramienta bastará multiplicar ambos miembros de la ecuación anterior por MTO-1 obteniéndose:

 

 

Cualquier otra relación puede ser obtenida fácilmente a partir del gráfico. Para ello se irá desde el objeto inicial al final multiplicando las matrices de transformación correspondiente a los arcos del gráfico, y considerando que de recorrerse éstos en el sentido inverso a las flechas deberá utilizarse una matriz inversa. Así la relación entre la base del robot y el objeto vendrá dada por:

 

 

O bien por:

 

 

·       Aplicación de los cuaternios: Anteriormente se definió en fora genérica lo que es un cuaternio. A continuación se describe el álgebra de cuaternios y las aplicaciones en las que la utilización de cuaternios supone una ventaja sustancial sobre otros métodos de descripción espacial.

 

 

Algebra de cuaternios

 

Un cuaternio está formado por cuatro componentes (q0,q1,q2,q3) que representan las coordenadas del cuaternio en una base {e,i,j,k}.

 

 

Sobre los elementos de la base se define una ley de composición interna ° (producto) según se muestra en la siguiente tabla. De este modo los cuaternios forman un grupo cíclico de orden cuatro. A continuación se describen algunas propiedades útiles de cuaternios a la hora de su utilización para realizar transformaciones.

 

Ley de composición interna de los cuaternios

 

°

e

I

j

k

e

e

i

j

k

i

i

-e

k

-j

j

j

-k

-e

i

k

k

J

-i

-e

 

Cuaternios conjugados: A todo cuaternio Q se le puede asociar su conjugado Q*, en el que se mantiene el signo de la parte escalar y se invierte el de la vectorial.

 

 

Operaciones algebraicas: Se definen tres operaciones algebraicas sobre los cuaternios: producto, suma y producto con un escalar.

 

El producto de los cuaternios Q1 y Q2, que va a ser muy útil para la composición de transformaciones, puede deducirse de la tabla anterior y viene dado por: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Se observa que no se trata de un producto conmutativo. Si se expresa componente a componente:

 

 

La suma de dos cuaternios Q1 y Q2 se define como:

 

 

Mientras que el producto por un escalar es:

 

 

El producto de cuaternios es por tanto asociativo aunque no conmutativo.

 

Norma e inverso: Según la definición del cuaternio conjugado y la del producto de cuaternios, se deduce que:

 

 

Al número real (q02 + q12 + q22 + q32) ½ se le denomina  norma de Q y se representa por  װQװ. El  inverso de un cuaternio puede hallarse mediante la expresión:

 

 

Siempre y cuando se trate de un cuaternio no nulo.

 

·       Utilización de los cuaternios: Las propiedades expuestas propician el uso de los cuaternios para la representación y composición de rotaciones. Para ello, primeramente se define aquel cuaternio que represente un giro de valor ө sobre un eje k como:

 

 

En segundo lugar, la aplicación de la rotación expresada por el cuaternio Q a un vector r, vendrá definida por el producto:

 

 

La composición de rotaciones con cuaternios resulta tan sencilla como multiplicar cuaternios entre sí. De tal forma que el resultado de rotar según el cuaternio Q1, para posteriormente rotar según Q2, es el mismo que el de rotar según Q3, obtenido por la expresión:

 

 

Es importante tener en cuenta el orden de multiplicación, pues como se ha mencionado, el producto de cuaternios no es conmutativo.

 

En el caso de componer rotaciones con traslaciones se procede como sigue: el resultado de aplicar una traslación de vector p seguida de una rotación Q al sistema OXYZ, es un nuevo sistema OUVW, tal que las coordenadas de un vector r en el sistema OXYZ, conocidas en OUVW, serán:

 

 

El resultado de primero rotar y luego trasladar al sistema vendrá dado por:

 

 

Si se mantiene el sistema OXYZ fijo y se traslada  el vector r según p y luego se le rota según Q se obtendrá el vector r’ de coordenadas:

 

 

Y si se aplica primero el giro y después la traslación p al vector r, éste se convertirá en el r’ a través de la expresión:

 

 

 

5. RELACIÓN Y COMPARACIÓN ENTRE LOS DISTINTOS MÉTODOS DE LOCALIZACIÓN ESPACIAL

 

 

En los argumentos anteriores se han explicado una serie de métodos para poder realizar la localización espacial de un sólido y de su sistema de referencia asociado. Cada uno de ellos presenta una serie de características que le hacen más o menos apto para una determinada aplicación. Así, algunos sólo sirven para la representación de orientación, mientras otros, por ejemplo, son especialmente útiles para la composición de rotaciones.

 

En este apartado se analizan las ventajas e incovenientes de cada uno de ellos, además de estudiar cómo se puede realizar el paso, cuando éste es posible, de uno a otro.

 

·       Comparación de métodos de localización espacial: En un principio todos los métodos expuestos son equivalentes, pero dependiendo del uso que se vaya a hacer, será más adecuado emplear un procedimiento u otro.

 

La comparación se realiza fundamentalmente en razón a su capacidad para la realización de cuatro cuestiones básicas de toda transformación.

 

1.  Capacidad de representación conjunta de posición y orientación.

2.  Representar la posición y orientación de un sistema rotado y trasladado O’UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ. Que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada sobre un sistema de referencia.

3.  Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un sistema O’UVW, asu expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ.

4.  Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ.

 

Matrices de transformación homogénea.

 

Sus principales ventajas residen en su capacidad de representación conjunta de posición y orientación y en la comodidad con la que se puede realizar la composición de transformaciones. Para ello bastará únicamente multiplicar, en el orden adecuado, las matrices de transformación correspondientes. Es posible, además, la aplicación de una transformación sobre un vector referido a un sistema fijo únicamente multiplicando la matriz de transformación correspondiente por el vector.

 

Como principal inconveniente presenta su alto nivel de redundancia (necesita definir 12 componentes para sólo 6 grados de libertad). Esto dificulta su implementación en computados.

 

Se trata del método más popular, pues además de trabajar con matrices, cuya álgebra es extensamente conocida, es capaz de realizar las cuatro cuestiones apuntadas anteriormente.

 

Ángulos de Euler.

 

Los ángulos de Euler, en cualquier de sus modalidades, sólo son capaces de representar orientación, y aunque permiten una notación compacta (sólo tres números reales), son difíciles de manejar para la composición de rotaciones y para su aplicación sobre un vector.

 

Par de rotación.

 

El par de rotación sólo sirve para la representación de orientaciones. Es compacto, pues únicamente usa 4 parámetros para la definición de orientación de un sistema con respecto a otro. Se puede aplicar para la rotación de un vector r un ángulo ө alrededor del eje k. sin embargo, la composición de rotaciones presenta una expresión complicada, lo que limita su utilización práctica en algunas aplicaciones.

 

Cuaternios.

 

El cuaternio, como tal, sólo es capaz de representar la orientación relativa de un sistema O’UVW con respecto a otro, a través del uso de cuatro componentes. Sin embargo, es posible componer rotaciones junto con traslaciones de forma bastante simple y computacionalmente económica. Puede aplicarse también para la transformación de un vector tanto en traslación como en rotación.

 

 

·       Relación entre los distintos métodos de localización espacial: Ya que los métodos vistos para la representación espacial son equivalentes, es decir, expresan lo mismo de forma distinta, deberá existir un modo de pasar de un tipo de representación a otro. A continuación se muestran las relaciones de paso que se utilizan más frecuentemente. A través de ellas es posible pasar de una representación a cualquier otra, aunque en algunos casos sea más cómodo utilizar una representación auxiliar intermedia.

 

Ángulos de Euler: Matriz de transformación homogénea

 

Ya se ha mencionado en varias ocasiones que los ángulos de Euler sólo son capaces de realizar una representación de la orientación. Por ello, a la hora de obtener la matriz homogénea equivalente a un conjunto de ángulos de Euler dados, únicamente  quedará definida la submatriz de rotación R3x3.

 

Relación directa: la obtención de la matriz homogénea correspondiente a cada conjunto de ángulos de Euler es inmediata; bastará con componer las matrices que representan las rotaciones que definen los propios ángulos:

 

Sistema ZXZ

 

Este sistema responde, a la composición de la siguiente secuencia de rotaciones:

 

 

Que desarrollado en forma matricial:

 

 

Sistema ZYZ

 

El paso del sistema fijo al girado se hace realizando la siguiente secuencia de rotaciones:

 

Que desarrollado en forma matricial:

 

 

 

Roll-Pitch-Yaw

 

De igual forma que en los casos anteriores, estos ángulos de Euler se pueden representar mediante la concatenación de las siguientes rotaciones:

 

 

Y de forma matricial:

 

 

 

Relación inversa: El paso de la representación mediante matriz homogénea a cualquier de los conjuntos de ángulos de Euler vistos no es trivial, pues se necesita resolver una serie de ecuaciones trigonométricas acopladas.

 

 

Par de rotación: Matriz de transformación homogénea

 

Al igual que en el caso de loa ángulos de Euler, mediante un eje y ángulo de rotación sólo es posible representar orientación; de ahí que únicamente quede definida la submatriz de rotación R3x3 de la matriz homogénea de transformación.

 

Relación directa: Se quiere descomponer el giro de un ángulo ө alrededor del eje k(kx,ky,kz) en la composición de rotaciones básicas que se puedan expresar mediante matrices básicas de rotación. Esto se consigue realizando una serie de rotaciones para alinear el eje k con uno de los ejes coordenados, por ejemplo el OZ, girar el ángulo ө con respecto a él y deshacer las rotaciones previas hasta tener el vector k en su posición inicial. Viendo la siguiente figura, esto se consigue mediante la siguiente composición:

 

(**)

 

 

Ángulo y eje de rotación

 

 

Teniendo en cuenta las siguientes relaciones:

 

 

Expresándolo en forma matricial y sustituyendo en la ecuación (**) se tiene la matriz homogénea que expresa la rotación alrededor del eje k de un ángulo ө:

 

 

Donde V representa el término verseno definido como Vө = 1- Cө.

 

Relación inversa: Se quiere obtener un eje k y un ángulo ө de rotación equivalente a la representación de una rotación mediante la matriz homogénea de rotación:

 

(***)

 

Se pondrán igualar las matrices de las expresiones anteriores y realizar una equivalencia componente a componente. Considerando el ángulo ө como positivo entre 0° y 180°, se puede llegar a las siguientes expresiones tanto para el ángulo ө como para las componentes del vector:

 

 

Cuando el ángulo  se acerca a 0° o a 180° aparecen problemas de indeterminación en las ecuaciones anteriores. Por ello, en estos casos es necesario realizar otro tipo de aproximación.

 

Par de rotación: Cuaternios.

 

Relación directa: Por la propia definición de cuaternios dada anteriormente, un cuaternio Q se puede expresar como:

 

 

Y componente a componente:

 

 

Relación inversa: La relación inversa se obtiene fácilmente de las anteriores expresiones:

 

 

 

Cuaternios: Matriz de transformación homogénea.

 

El paso de cuaternios a la matriz de transformación homogénea, y viceversa, se pueden deducir fácilmente utilizando como representación auxiliar intermedia el eje y ángulo de rotación. A continuación se expresan las relaciones finales, obviando los desarrollos intermedio que se pueden encontrar en Hamilton-69.

 

Relación directa: La representación de la matriz de transformación T en función de las componentes de un cuaternio Q viene dada por la siguiente matriz:

 

 

Relación inversa: La relación inversa se puede obtener fácilmente igualando la traza y los elementos de la diagonal principal de la matriz anterior con la matriz (***):